离散数学实验指导
湖南第一师范学院
信息科学与工程学院
2017年9月
目 录
实验一、真值表计算
一、实验目的
熟悉联结词合取、析取、蕴涵和等值的概念，编程求其真值。
二、实验项目性质
设计性
三、实验内容
1. 从键盘输入两个命题P和Q的真值，求它们的合取、析取、蕴涵和等值的真值。用C语言实现。
2. 求任意一个给定命题公式的真值表，并根据真值表求主范式。
四、实验要求
1. 独立完成实验内容；
2. 实验完成后需提交实验报告。
3. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
实验二、集合运算
一、实验目的
1. 通过编程实现求给定集合A和B的并集C（C=A∪B）的运算。
2. 通过编程实现求给定集合A和B的交集C（C=A∩B）的运算。
3. 通过编程实现求给定集合A和B的差集C（C=A-B）的运算。
二、实验项目性质
设计性
三、实验内容
1. 已知所给集合A和B，求A与B 的并集C（C=A∪B）。
2. 已知所给集合A和B，求A与B 的交集C（C=A∩B）
3. 已知所给集合A和B，求A与B的差集C（C=A-B）。
四、实验原理
1、因为并集的定义为：C={x|x∈A∨x∈B}，所以，只要将集合A与B合在一起就得到了并集C。但是，在一个集合中，同样的元素没必要出现两次或两次以上，所以，在将集合A送入并集C后，应将集合B中与A中相同的元素删除，再将集合B送入并集C之中。
2、根据交集的定义：C={x|x∈A∧x∈B}，我们将集合A的各个元素与集合B的元素进行比较，若在集合B中存在某个元素并和集合A中一元素相等，则将该元素送入交集C之中。
3、差集C的定义：差集C={x|x∈A∧x
B}，即对于集合A中的元素ai，若不存在bj∈B（j=1，2，…..，m），使得ai=bj，则ai ∈差集C。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验步骤及注意事项
1、并集
（1） 集合B的元素个数送M，集合A的元素个数送N。
（2） AC。
（3） 1i。
（4） 若i> M,则结束。
（5） 否则，对于j=1，2，…….，n，判断：bi=aj，若相等，则转（7）。
（6） 否则，biC。
（7） i+1i，转（4）。
2、交集
（1） 将集合A的元素送N。
（2） 1i
（3） 若i>N,则结束。
（4） 否则，将ai与集合B中的每个元素进行比较，若ai与集合B中所有元素均不相同，则转（6）。
（5） 否则，aiC。
（6） i+1i，转（3）。
3、差集
（1） 将集合A的元素个数送N。
（2） 1i。
（3） i>N，则结束。
（4） 否则，将ai与集合B中的每个元素相比较，若ai 与集合B中的某个元素相同，则转（6）。
（5） 否则，aiC。
（6） i+1i，转（3）。
六、实验要求
1. 复习集合运算中交集、并集、差的定义。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能够实现求两个给定集合的并、交、差集。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
实验三、关系的性质实验
一、实验目的
1、 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。
2、 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为对称关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。
3、 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为传递关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断关系性质的方法。
4、 通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反的、对称的和传递关系的判断，加深学生对关系性质的理解，掌握用矩阵来判断等价关系的方法。
二、实验项目性质
设计性
三、实验内容
1、 已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为自反关系。
2、 已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为对称关系。
3、 已知关系R由关系矩阵M给出，要求判断由M表示的这个关系是否为传递关系。
4、 给定R的关系矩阵，据此判断所给关系R是否为等价关系。
四、实验原理
1、从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若M（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。
2、从给定的关系矩阵来判断关系R是否为对称是很容易的。若M（R的关系矩阵）为对称矩阵，则R是对称关系；若M为反对称矩阵，则R是反对称关系。因为R为对称的是等价关系的必要条件，所以，本算法可以作为判等价关系算法的子程序给出。
3、一个关系R的可传递性定义告诉我们，若关系R是可传递的，则必有：mik=1∧mkj=1 mij=1。这个式子也可改写成为： mij =0 mik =0∨mkj=0。我们可以根据后一个公式来完成判断可传递性这一功能的。可传递性也是等价关系的必要条件，所以，本算法也可以作为判等价关系算法的子程序给出。
4、设R为非空集合A上的关系. 如果R是自反的、对称的和传递的, 则称R为A上的等价关系。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验步骤及注意事项
1、自反性判定
（1） 输入关系矩阵M（M为n阶方阵）。
（2） 判断自反性，对于i=1，2，….，n；若存在mii=0，则R不是自反的；若存在mii=1，则R是自反的；否则R既不是自反关系也不是反自反关系。
（3） 输出判断结果。
2、对称性判定
（1） 输入关系矩阵M（M为n阶方阵）；
（2） 判断对称性，对于i=2，3，….，n；j=1，2,……，i-1，若存在mij=mji，则R是对称的；
（3） 判断反对称性；
（4） 判断既是对称的又是反对称的；
（5） 判断既不是对称的又不是反对称的；
（6） 输出判断结果。
七、实验要求
1. 复习关系的性质。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能够实现对给定集合上的关系性质的判定。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
实验四、关系的闭包运算
一、实验目的
通过算法设计并编程实现求给定关系的各种闭包运算，加深学生对闭包运算的概念的理解。
二、实验项目性质
设计性
三、实验内容
给定关系R，求R的自反闭包及R的对称闭包。
四、实验原理
若关系R的关系矩阵为M，而自反闭包为A（即r（R）=A），对称闭包为B（即S（R）=B），则A=M∨I B=M∨MT 其中，I为恒等矩阵，MT为M的转置矩阵。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验要求
1. 复习关系闭包的定义。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能求出给定关系的闭包。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
七、思考题
设计出求关系R的传递闭包的Warshall算法的程序。
实验五、等价类实验
一、实验目的
通过算法设计并编程实现对给定集合上的关系是否为自反的、对称的和传递关系的判断，加深学生对等价关系和等价类的理解，掌握求等价类的方法。
二、实验项目类型
综合性
三、实验内容
给定一个集合{1，2，…..，n}，及其上的一个等价关系R，求R上的等价类。
四、实验原理
给定任意关系，欲判断R是否为等价关系，可用实验八所给出的程序。但是，如果给定一个等价关系，那么它的关系矩阵必为对称矩阵。为了节省存储空间，只要存放关系矩阵的一半就可以了（另一半与这一半相同）。我们可以用一维数组来存放关系矩阵的下三角矩阵（包括主对角线在内），具体对应关系如下：
根据等价类的定义可知，等价类内的各元素之间均有R关系，所以在构造等价类时，只要依据所给关系矩阵，把所有相互有R关系的各元素归为一类就可以了。在输出时，把每一类显示在同一行上。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验要求
1. 复习等价关系和等价类的定义。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能求出给定集合上等价关系的等价类。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
实验六、函数实验
一、实验目的
函数是集合论中的一个十分重要的概念通过该组实验，目的是让学生更加深刻地理解函数的概念和性质，并掌握函数性质的判定等。
通过算法设计并编程实现求出从集合A到B上的所有满射函数的个数，加深学生对函数性质的理解。
二、实验项目类型
设计性
三、实验内容
1、实验要求判断任意一个关系是否为函数，若是函数，判定其是否为单射、满射或双射。
2、设A、B为有限集合，且|A|=m，|B|=n，求出从集合A到B的所有满射函数个数。
四、实验原理
1、设A和B为集合，f A×B，若对任意的x∈A，都存在惟一的y∈B使得xfy成立，则称f为从A到B的函数。 设f是A到B的函数，若Rf＝B(或f(A)＝B)，则称f是A到B的满射；若对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是A到B的单射；若f既是满射又是单射，则称f是A到B的双射。 在程序中集合用列举法表示，关系用集合表示。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c}，A到B上的关系f={<1，a>，<2，b>，<3，c>}。
2、从A到B的满射函数定义为：设 f : A→B,若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的（或称为映到的），函数f 为满射的必要条件是 |A|≥|B|。否则就不是满射函数了。对于所给的问题，可以使用公式：
F=·－·+·－…….+ · 来求得其解。但是在这儿，我们也可以使用计算机中常用的一种方法——枚举法来求解。
3、枚举法就是一个个的列出所有满足条件的函数，并将其记录下来，当枚举结束时就可得到欲求函数的数目。对于上面提出的问题，相当于把n个不同的数字放到m个位置上去的所有不同的方法。其中，数字是可重复出现的，但是每个数字必须都出现过至少一次才是满射函数。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验要求
1. 预习函数的定义和函数的性质。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能判定一个关系是否函数，并求出从集合A到B上的所有满射函数的个数。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
七、思考题
设计出一个类c的算法，并编写一个程序求出从集合A到B上的所有单射函数的个数。
实验七、图的连通性实验
一、实验目的
通过算法设计并编程实现，使学生掌握利用计算机语言判别图的连通性的基本方法。
二、实验项目类型
研究创新性
三、实验内容
给定n个结点的有向图的邻接矩阵，可判断该图是否为强连通的，单向连通的，或弱连通的。
四、实验原理
对于给定的邻接矩阵A，我们可以用前面给出的可达矩阵Warshall算法求出A所表示的图的可达矩阵P。对于可达矩阵P来说，如果P的所有元素均为1，则所给的有向图是强连通的；对于P的所有元素（除主对角线元素外）Pij来说，均有：Pij+Pji>0，则所给有向图是单向连通的。当所给有向图既不是强连通的，又不是单向连通的时候，我们改造邻接矩阵为：对于矩阵A中所有的元素（除主对角线的元素外）aij，若aij=1或aji=1，则1aij且1aji。对于这样改造之后所得到的新的矩阵A’（A’相当于原有向图忽略方向之后所得到的无向图的邻接矩阵），再用前面所述的方法进行判断，当P’的所有元素（除主对角线的元素外）均为1时，原有向图是弱连通图；否则，原有向图是不连通的。
五、实验仪器设备或软件环境及工具
运行Windows 或Linux操作系统的PC机，具有gcc(Linux)、Turboc、Vc(Windows)等C语言的编译环境。
六、实验步骤及注意事项
（1）输入邻接矩阵A（n，n）。
（2）A（n，n）P（n，n）。
（3）调用求可达矩阵子程序求出可达矩阵P。
（4）调用强连通或单向连通子程序。
（5）若为强连通或单向连通的，则输出其标志，转结束；否则转（6）。
（6）改造A阵为 A’，且A’ P（n,n）。
（7）调用求可达矩阵子程序。
（8）调用判断连通或单向连通子程序。
（9）若为强连通的，则输出原有向图是弱连通的；否则输出原有向图是非连通的。
（10）结束。
七、实验要求
1. 复习图的强连通、单向连通和弱连通的定义。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能够对给定n个结点的有向图的邻接矩阵，判断该图是否为强连通的，单向连通的，或弱连通的。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
实验八、欧拉回路判定
一、实验目的
掌握判断欧拉图的方法。
二、实验项目类型
综合性
三、实验内容
编程随机生成n个结点的无向图并能进行（半）欧拉图的判定，若是则给出欧拉（回）路。
四、实验原理和方法
对给定n个结点，随机生成邻接矩阵以确定某无向简单图，并进行欧拉图和半欧拉图的判定，若符合则给出至少一条欧拉回路或欧拉路。
定理（一）：一个图有欧拉回路当且仅当它是连通的且每个顶点都有偶数度。
定理（二）：一个图有欧拉通路当且经当它是连通的且除两个顶点外，其他顶点都有偶数度。
在第二个定理下，含奇数度的两个节点中，一个必为欧拉通路起点，另一个必为欧拉通路的终点。
设G是一个无向的欧拉图，求G中的一条欧拉回路的算法为：
（1）任意选取G中的一个点V0,令P0 ＝ V0。
（2）假设沿pi = v0e1v1e2v2……eivi走到了点vi，按照下面的方法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取ei + 1:
a）ei + 1与vi关联。
b）除非无别的边可以选择，否则ei + 1不应该是Gi = G – {e1,e2,…,ei}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时算法停止。
可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路pm = v0e1v1e2v2……emvm（vm == v0）为G中的一条欧拉回路。
五、实验要求
1. 复习图论、欧拉图相关知识。
2. 独立完成实验，所编程序能够通过编译，并能够对给定n个结点的有向图的邻接矩阵，判断该图是否为强连通的，单向连通的，或弱连通的。
3. 实验完成后需提交实验报告。
4. 实验报告要有详细的算法步骤、实验结果讨论与分析、真实的个体心得体会。
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